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Fechas de cumpleaños y Blind Search - Parte 1

Blind SearchPostado por Lourdes Prieto Solla sáb, diciembre 09, 2017 12:20:11

Queridos, he recibido un comentario de Thore que me ha encantado, y no me resisto a contároslo!! Os pongo aquí el original y mi traducción libre (ya veréis que no es exacta), pero no puedo evitar darle un toque personal. Allá va!! Disfrutar!!

El título pretende ser algo desconcertante e intrigante. Veremos primero la “Paradoja del cumpleaños” (https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_del_cumplea%C3%B1os) y después la herramienta “Blind search” de Familias. Esperemos que la relación entre ambos quede clara al final de estos posts.

Imaginaros un workshop del GHEP que nos da Thore, en el que hay 23 socios participantes. En la primera charla del workshop Thore nos pregunta a los 23: ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de vosotros tengáis la misma fecha de cumpleaños? Nosotros intentamos adivinarlo, pues no nos parece muy fácil hacer el cálculo, pero intuitivamente, la mayoría sugerimos probabilidades cercanas a cero. Cuando Thore nos dice que la probabilidad es 0.51 (o del 51%), nosotros, claro está, no nos lo creemos. Como somos alumnos muy interesados y brillantes (como vosotros, que os habéis parado a leer esto!!), reclamamos pruebas sólidas a tan atrevida afirmación. Y aquí está la respuesta:

Sabemos que cada año tiene 365 días (olvidemos los años bisiestos), y sabemos que todos esos días pueden ser un día de cumpleaños con la misma probabilidad (no del todo cierto… en mi pueblo se acumulan los cumpleaños 9 meses después de las fiestas patronales J… pero no hay problema por esto). Como en muchas ocasiones cuando hablamos de probabilidad, es más fácil considerar la situación complementaria (es decir la probabilidad de que la fecha de cumpleaños sea distinta). Teniendo en cuenta a 2 alumnos al azar, esta probabilidad (distintos cumpleaños) es 364/365 (un alumno está de cumpleaños un día concreto y al otro le quedan 365-1= 364 días para que su cumpleaños caiga en un día diferente al primero). Por tanto, la probabilidad de que dos alumnos elegidos al azar estén de cumpleaños el mismo día sería el suceso contrario, es decir: 1 – (364/365) = 1/365.

Para r alumnos (teniendo en cuenta que los valores que r debe tomar son 0 < r <= 365), la probabilidad de que ninguno de ellos esté de cumpleaños el mismo día sería:

(365/365)*(364/365)*(363/365)*…*((365-r+1)/365)

porque la segunda persona no puede tener el mismo cumpleaños que el primero (364/365), la tercera persona no puede tener el mismo cumpleaños que las dos primeras (363/365), etc. Y por tanto, la probabilidad de que al menos 2 alumnos estén de cumpleaños el mismo día sería:

1 – [(365/365)*(364/365)*(363/365)*…*((365-r+1)/365)]

Para r = 23, esta operación resulta tener un valor de 0.5072972 o 51%, lo cual demuestra que Thore tiene razón. Y además Thore nos ilustra y generaliza el caso para 1, 2, …, 3 socios del GHEP, usando R:

r = 50
probs = rep(NA,r)
pupils = 1:r
for(r in pupils)
probs[r] = 1 - prod((365:(365-r+1)))/365^r
plot(pupils, probs, type = "l", xlab = "Number of pupils",
ylab = "P(some have the same birthday)")
lines(rep(23,20), seq(0.05, probs[23], length = 20), lty = 2)
lines(7:23, rep(0.5, length(7:23)), lty = 2)
text(23, 0, "23")
text(3, 0.5, "Prob=0.5")
title("The birthday paradox illustrated")



¿Cuál es la conexión entre esto y la herramienta Blind Search de Familias? Tener paciencia y esperar el próximo post…

Lo que recibí de Thore:

The title is intended to be a bit puzzling and intriguing. We first visit the ‘Birthday paradox’ (Paradoja del cumpleaños, https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_del_cumplea%C3%B1os) and later ‘Blind search ’ in Familias; hopefully the connection will be clear eventually. Imagine the first day of school. The math teacher asks her 23 pupils. “What is the probability that at least two of you have the same birthday”. The pupils guess, most of them suggest probabilities close to zero. When the teacher says that the probability is 0.51 (or 51%), she is met with disbelief. These bright and interested students demand solid proof for this horrendous claim. Here it is: We assume that there are 365 days. All days are equally likely to be a birthday (not quite true, but no problem). As often for probability calculations it is easier to consider the complimentary event, that birthdays differ. With two random pupils, this probability is 364/365 and so the probability that two randomly chosen pupils have the same birthday equals 1-364/365=1/365, obviously. For r pupils (0 <r <= 365), the probability that no one have the same birthday is (364/365)*(363/365)*…*((365-r+1)/365). Therefore, the probability that at least two have the same birthday equals

1 - (364/365)*(363/365)*…*((365-r+1)/365).

For r = 23, we find 0.5072972 or 51% proving that the teacher is right. The teacher illustrates and generalises her claim to classes with 1, 2, …., 50 pupils using R:.....
........
What’s the connection to Blind search of Familias? Please be patient and wait for the next posting …